Baccalauréat S Antilles Guyane 18 juin 2019 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le nombre complexe $c = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et les points S et T d'affixes respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

1. Affirmation 1 :
   Le nombre $c$ peut s'écrire $c = \dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
On a :
$\begin{align*} c&=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i} \pi/3} \\
&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\left(1+\text{i} \sqrt{3}\right)\end{align*}$
Par conséquent $c\neq \dfrac{1}{4}\left(1-\text{i} \sqrt{3}\right)$.
Affirmation 1 fausse
$\quad$
2. Affirmation 2 :
   Pour tout entier naturel $n$, $c^{3n}$ est un nombre réel.
On considère un entier naturel $n$.
On a donc $c^{3n}=\dfrac{1}{2^{3n}}\text{e}^{n \text{i} \pi}$
Or $\text{e}^{n \text{i} \pi} \in \left\{-1;1\right\}$.
Donc $c^{3n}\in \mathbb R$.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
3. Affirmation 3 :
   Les points O, S et T sont alignés.
On a $\dfrac{1}{c}=2\text{e}^{-\text{i} \pi/3}$ et $c^2=\dfrac{1}{4}\text{e}^{2\text{i} \pi/3}$
L’affixe du vecteur $\vec{OS}$ est $z_{\vec{OS}}=\dfrac{1}{4}\text{e}^{2\text{i} \pi/3}$ et celle du vecteur $\vec{OT}$ est $z_{\vec{OT}}=2\text{e}^{-\text{i} \pi/3}=2\text{e}^{2\text{i} \pi/3-\text{i} \pi}=2\text{e}^{-ic \pi}\text{e}^{2\text{i} \pi/3}=-2\text{e}^{2\text{i} \pi/3}$.
Ainsi $z_{\vec{OT}}=-8z_{\vec{OS}}$.
Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $O, S$ et $T$ sont alignés.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
4. Affirmation 4 :
   Pour tout entier naturel non nul $n$, \[|c| + \left|c^2 \right| + \ldots + \left|c^n \right| = 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n.\]
On a $|c|=\dfrac{1}{2}$.
Donc, pou tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} |c|+\left|c^2\right|+\ldots+\left|c^n\right|&=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}} -1\\
&=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}-1 \\
&=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)-1 \\
&=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-1\\
&= 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}$
Affirmation 4 vraie
$\quad$