Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

• $E$ l'évènement « La journée est ensoleillée » ;
• $V$ l'évènement« Romane se déplace en vélo ».

 

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
   1. Calculer la valeur de $p$.
   2. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.

 

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
   
2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

 

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
   1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
   2. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.