Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels. On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point $A_1$ de coordonnées $(0~;~2~;~-1)$ et le vecteur $\vec{u_1}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. On appelle $D_1$ la droite passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{u_1}$. On appelle $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\end{array}\right.\:(k \in \mathbb R).$ Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1$ et $D_2$.

1. 1. Donner une représentation paramétrique de $D_1$.
   2. Donner un vecteur directeur de $D_2 \left(\text{on le notera}\: \vec{u_2}\right)$.
   3. Le point $A_2(- 1~;~4~;~2)$ appartient-il à $D_2$ ?
2. Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires.
3. Soit le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$. On définit la droite $\Delta_1$ passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ et la droite $\Delta_2$ passant par $A_2$ et parallèle à $\Delta_1$. Justifier que les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires. Dans la suite, on admettra que les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires.
4. Soit $P_1$ le plan défini par les droites $D_1$ et $\Delta_1$ et $P_2$ le plan défini par les droites $D_2$ et $\Delta_2$.
   1. Soit le vecteur $\vec{n} \;\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$.
   2. Montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles.
5. Soit $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. On admettra que le vecteur $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$.