Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$. Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par \[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\] On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels.  

  1. Etude du cas particulier $a = 2$ La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
    1. Etudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb R$ ( on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition .
    2. La fonction $f_2$ est d’après l’énoncé dérivable sur $\mathbb R$.
      $ f_2′(x) = \text{e}^x – 2$
      Or $\text{e}^x-2 > 0 \Leftrightarrow \text{e}^x > 2 \Leftrightarrow x > \ln 2$.
      On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :

    3. En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
    4. $2 – 2\ln 2 > 0$ donc pour tout réel $x$, $f_2(x) > 0$ et l’équation $\text{e}^x = 2x$ ne possède aucune solution.
      On en déduit donc que $\Delta_2$ et $\Gamma$ n’ont pas de point d’intersection.
  2. Etude du cas général où $a$ est un réel strictement positif
    1. Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
    2. $f_a(x)=\text{e}^x(1-ax\text{e}^{-x})$
      $\lim\limits_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$
      De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x = +\infty$.
      Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_a(x) = +\infty$
      $\quad$
      $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} -ax = +\infty$ car $a > 0$.
      Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_a(x) = +\infty$.
    3. Etudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\mathbb R$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
    4. $f_a$ est dérivable sur $\mathbb R$.
      $f_a'(x) = \text{e}^x – a$.
      $\text{e}^x – a > 0 \Leftrightarrow x > \ln a$.
      On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

      La fonction $f_a$ admet donc un minimum $f_a(\ln a) = a-a\ln a$.
    5. Etudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
    6. $a -a \ln a = a (1 – \ln a)$
      Puisque $a > 0$, $a -a \ln a$ est du signe de $1- \ln a$.
      Cela signifie donc que :
      • si $a > e$ alors $1 – \ln a < 0$ et $a – a\ln a < 0$
      • si $0< a <e$ alors $1 – \ln a > 0$ et $a – a\ln a > 0$
    7. Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.
    8. Si $0 < a <e$ alors $f_a(x) > 0$ pour tout réel $x$.
      $\quad$
      Si $a > e$ :
      Sur $]-\infty;\ln a]$, la fonction $f_a$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
      De plus $\lim\limits_{x \to – \infty} f_a(x) = +\infty$ et $f_a(\ln a) <0$.
      Par conséquent $0$ appartient à l’intervalle image de $]-\infty;\ln a]$ par $f_a$.
      D’après le théorème de la bijection ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f_a(x) = 0$ possède une unique solution sur $]-\infty;\ln a[$ et $\Gamma$ et $\Delta_a$ ont un unique point d’intersection sur cet intervalle.
      De même, en utilisant la croissance stricte de $f_a$ sur $[\ln a;+\infty[$, on prouve que $\Gamma$ et $\Delta_a$ ont un unique point d’intersection sur $[\ln a;+\infty[$.
      Les deux courbes ont donc, si $a > e$ deux points d’intersection.
      $\quad$
      Si $a=e$ alors la droite et la courbe $\Gamma$ ont un seul point en commun : celui d’abscisse $\ln a = 1$.
    1. Exercice 2
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