Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

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On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

1. Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
2. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $f(z) = 5$. Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents.
3. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\] Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Tracer (F) sur le graphique.
5. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
   1. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
   2. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traà§ant ces droites.
6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).