Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

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On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~; + \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
2. Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~; + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~; + \infty[$.

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On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.

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Partie B

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
4. 1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
   2. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

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Partie C

On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\] Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il calcule $S_{100}$.

Annexe 1 Exercice 2 Partie B , question 1

Annexe 2 Exercice 2 Partie C

$$\begin{array}{|l|}\hline \text{ Déclaration des variables :}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} S \text{ et } u \text{ sont des nombres réels}\\ k \text{ est un nombre entier} \end{array}\\ \text{Initialisation : }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ S \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\\ \end{array}\\ \text{ Traitement : }\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } \ldots.\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } u \times \text{e}^{- u}\\ S \text{ prend la valeur } \ldots.\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \text{ Afficher } \ldots \ldots\\ \end{array}\\ \hline \end{array}$$