Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013 - Correction Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%.

L'étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
$M$ : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : « La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

1. 1. Faire un arbre pondéré modélisant la situation.
   
   
   1. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
   $$\begin{array}{ll}P(M \cap C)& =P(M)\times P_M(C)\\ &=0,1\times 0,3\\&=0,03\end{array}$$
   $$P(M \cap C) = 0,03$$
   1. Calculer $P(C)$.
   On utilise la partition $\Omega =M\cup \overline{M}$
   
   
   on a donc $C =(M\cap C)\cup (\overline{M}\cap C)$ $$\begin{array}{lll}P( C)& =P(M\cap C)+P(\overline{M}\cap C)&\text{ car cette union est disjointe }\\ &= P(M)\times P_M(C)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(C)&\\ &=0,1\times 0,3+ 0,9\times 0,08&\\&=0,102&\end{array}$$
   $$P( C) = 0,102$$
2. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Ici $C$ est réalisé , on veut donc calculer la probabilité conditionnelle $P_C(M)$ $$\begin{array}{lll}P_C(M) & =\dfrac{P(M\cap C)}{P( C)}&\text{ d'après la définition des probabilités conditionnelles. }\\ &=\dfrac{0,03}{0,102}&\\ &=\dfrac{30}{ 102}= \dfrac{5}{ 17}&\end{array}$$

Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

1. Définir la loi de la variable aléatoire $X$.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

2. Déterminer $P(X = 35)$ et en donner une interprétation.

2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

$$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

1. Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
On veut calculer ici $P(X\geq 30) = 1 -P(X\leq 29)$

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Partie C

1. On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}, X$ étant la variable aléatoire de la Partie B . Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$ %.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

L’intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ est donc :

$$I_{400} = \left[ 0,1 – 1,96\dfrac{\sqrt{0,1 \times 0,9}}{\sqrt{400}} ; 0,1 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,1 \times 0,9}}{\sqrt{400}} \right] = [0,0706;0,1294]$$
1. Dans l'échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous?
La fréquence observée est donc de $\dfrac{60}{400} = 0,15 \notin I_{400}$.

Le nombre de personnes présentant une malformation cardiaque de type anévrisme est donc anormalement élevé.