Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013

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Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f(x) = x \text{e}^{1-x}.\]

1. Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
4. Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
5. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variation.

Partie B
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}.\]

1. Vérifier que, pour tout réel $x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}$.
   On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$.
2. Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g'_{n}$, $g'_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$. En déduire que, pour tout réel $x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$.
3. Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la  partie B , déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.