Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Un Vrai- Faux

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

1. Dans l’ensemble $\mathbb C$des nombres complexes, on considère l’équation $(E) : z^2 — 2\sqrt 3 z + 4 = 0$.
   On note $A$ et $B$les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
   Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
On considère l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.

 

Son discriminant est $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$

 

Les solutions complexes de cette équation sont donc :

 

$z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\text{i}}{2}=\sqrt{3}-\text{i}$ et $z_2=\overline{z_2}=\sqrt{3}+\text{i}$.

 

On note $A$ le point d’affixe $z_1$ et $B$ celui d’affixe $z_2$.

 

$OA=\left|z_1\right|=2$ et $OB=\left|z_2\right|=2$

 

$AB=\left|z_2-z_1\right|=|2\text{i}|=2$.

 

Ainsi $AB=OA=OB$. Le triangle $OAB$ est équilatéral.

Affirmation 1 vraie.

$\quad$
1. On note $u$ le nombre complexe : $u = \sqrt 3 + i$ et on note $\overline{u}$ son conjugué.
   Affirmation 2 : $u^{2019}+ \overline{u}^{\;2019}=2^{2019}$.
On a $|u|=2$ donc $u=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right)=2\text{e}^ {\text{i} \frac{\pi}{6}}$.

 

Ainsi $\overline{u}=2\text{e}^ {-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

 

Par conséquent :

 

$\begin{align*} u^{2019}+\overline{u}^{2019}&=2^{2019}\text{e}^ {336,5\text{i}\pi}+2^{2019}\text{e}^ {-336,5\text{i}\pi} \\

 

&=2^{2019}\left(\text{e}^ {(168\times 2\pi +\frac{\pi}{2})\text{i}}+\text{e}^ {-(168\times 2\pi +\frac{\pi}{2})\text{i}} \right)\\

 

&=2^{2019}\left(\text{i}-\text{i}\right)\\

 

&=0\end{align*}$

Affirmation 2 fausse

$\quad$
1. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$f_n(x)=x\text{e}^{-nx+1}.$$ Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n >1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
Soit $n$ un entier naturel non nul.

 

La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

 

$\begin{align*} {f_n}'(x)&=\text{e}^ {-nx+1}+x\times \left(-n\text{e}^ {-nx+1}\right) \\

 

&=(1-nx)\text{e}^ {-nx+1}\end{align*}$

 

La fonction exponentielle est strictement positive.

 

Le signe de ${f_n}'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-nx$.

 

Or $1-nx=0\iff x=\dfrac{1}{n}$ et $1-nx>0\iff x<\dfrac{1}{n}$.

 

La fonction $f_n$ est ainsi croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{n}\right]$ et décroissante sur l’intevalle $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[$.

 

Pour tout entier naturel $n\geq 1$, la fonction $f_n$ admet donc un maximum en $\dfrac{1}{n}$.

Affirmation 3 vraie

$\quad$
1. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x) = \cos (x) \text{e}^{-x}$.
   Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
Pour tout réel $x$ on a $-1\leq \cos x\leq 1$.

 

Donc $-\text{e}^ {-x}\leq f(x)\leq \text{e}^ {-x}$.

 

Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^ {-x}=0$

 

D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.

 

La courbe $\mathcal{C}$ admet donc une asymptote en $+\infty$.

Affirmation 4 vraie

$\quad$
1. Soit $A$ un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|} \hline I\leftarrow 0\\ \text{Tant que } 2 ^I \leq A \\ \hspace{1cm} I\leftarrow I+1 \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$ On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d’exécution de cet algorithme.
   Affirmation5 : $15 \ln (2) < \ln (A) < 16 \ln (2)$
D’après l’algorithme on a : $2^{14} \leq A \leq 2^{15}$

 

Donc, en utilisant la strictement croissance de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$ on a :

 

$14\ln(2) \leq \ln(A) \leq 15\ln(2)$.

Affirmation 5 fausse

$\quad$