Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01.
Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne.

1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ;  +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$. Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
   1. Justifier que $\lambda = 0,1$.
   D’après l’énoncé, on a $E(X)=10$.
   Or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\dfrac{1}{\lambda}=10 \iff \lambda =0,1$.
   $\quad$
   
   2. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
   On veut calculer $P(X\geq 6)=\text{e}^{-0,1\times 6}=\text{e}^{-0,6}\approx 0,55$.
   La probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à $0,55$.
   $\quad$
   
   3. Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fm de la première année ? Justifier.
   La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement. Donc :
   $\begin{align*} P_{X\geq 6}(X\geq 12)&=P_{X\geq 6}(X\geq 6+6)\\ &=P(X\geq 6)\\ &=\text{e}^{-0,6}\\ &\approx 0,55\end{align*}$.
   Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année est environ égale à $0,55$.
   $\quad$
   
   4. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier.
   On cherche à résoudre l’équation :
   $\begin{align*} P(X>t)=0,05 &\iff \text{e}^{-0,1t}=0,05 \\ &\iff -0,1t=\ln 0,05\\ &\iff t=-10\ln 0,05\end{align*}$
   Ainsi $t\approx 30$.
   $\quad$
2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55 g et 65 g. On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$.
   1. Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
   On a $P(55 \leq M\leq 65)=P(\mu-2\sigma\leq M\leq \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
   Remarque : On pouvait également retrouver cette valeur directement avec la calculatrice.
   $\quad$
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   2. Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
   On veut déterminer le réel $m$ tel que $P(M\geq m)\geq 0,99 \iff P(M\leq m)\leq 0,01$.
   À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $m\approx 54$.
   $\quad$

   2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
   Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

    

3. Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.
On a $n=120$ et la probabilité théorique qu’un consommateur choisisse la glace à la vanille est $p=\dfrac{2}{3}$.
Ainsi $n\geq 30$, $np=80\geq 5$ et $n(1-p)=40\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de consommateurs choisissant la glace à la vanille est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}};\dfrac{2}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}}\right] \\ &\approx [0,58;0,76]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{65}{120}\approx 0,54 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $5\%$ cela remet en cause l’hypothèse faite par le commerçant.
$\quad$