Baccalauréat S Antilles Guyane 18 juin 2019 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d'une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d'analyse de ce match. On dispose des informations suivantes:

• 56 % des téléspectateurs ont regardé le match;
• un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l'émission;
• 16,2 % des téléspectateurs ont regardé l'émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:

• $M$ :«le téléspectateur a regardé le match» ;
• $E$ :«le téléspectateur a regardé l'émission ».

On note $x$ la probabilité qu'un téléspectateur ait regardé l'émission sachant qu'il n'a pas regardé le match.

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
$\quad$
3. 1. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\overline{M}\cap E\right) \\
   &=0,14+0,44x\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire la valeur de $x$.
   On sait que $P(E)=0,162$
   Par conséquent $0,44x+014=0,162\iff 0,44x=0,022\iff x=0,05$.
   $\quad$
4. Le téléspectateur interrogé n'a pas regardé l'émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il ait regardé le match?
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\overline{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\overline{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
&=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,95}\\
&\approx 0,44\end{align*}$
La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,44$.
$\quad$

Partie B

Pour déterminer l'audience des chaînes de télévision, un institut de sondage recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de foyers français. Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire $T$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,5$.

1. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ?
On a $P(1\leq T\leq 2)\approx 0,682$.
On remarque qu’il s’agit du calcul de $P(\mu-\sigma\leq T\leq \mu+\sigma)$.
La probabilité qu’un spectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soit du match est environ égale à $0,682$.
$\quad$
2. Déterminer l'arrondi à $10^{-2}$ du réel $t$ tel que $P(T \geqslant t) = 0,066$. Interpréter le résultat.
On a :$P(T\geq t)=0,066 \iff P(T<t)=0,934$
À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $tt\approx 2,25$.
$6,6/%$ des spectateurs ont passé plus de $2$h $15$ minutes devant la télévision le soir du match.
$\quad$

Partie C

La durée de vie d'un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}.\]

On a $P(1\leq S\leq 2)=\text{e}^{-\lambda}-\text{e}^{-2\lambda}$
Par conséquent $\text{e}^{-\lambda}-\text{e}^{-2\lambda}=0,25$
On pose $X=\text{e}^{-\lambda}$.
On a donc l’équation $-X^2+X-0,25=0 \iff -(X-0,5)^2=0 \iff X=0,5$.

Ainsi $\text{e}^{-\lambda}=0,5 \iff \lambda =-\ln 0,5 \iff \lambda =\ln 2$.

La durée de vie moyenne des boîtiers est $E(S)=\dfrac{1}{\ln 2}\approx 1,44<3$.

L’affirmation de l’usine est fausse.
$\quad$