Bac STI2D Antilles-Guyane 16 juin 2016 - Exercice 3

Exercice 3 5 points

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité. Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes, des vitesses pouvant aller jusqu'à $420$~km.h$^{-1}$ et des températures instables allant de $- 40$ °C (en altitude) à $250$ ° C (au moment du décollage).

Partie A

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 121,37$ et d'écart type $\sigma = 0,42$.

1. Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre $120,95$ et $121,79$.
2. Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à $122,63$.

Partie B

Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène. Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 121,9 kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier. Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de $36$ pneus et on constate que $2$ d'entre eux ont une masse qui dépasse $121,9$~kg.

1. Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse $121,9$ kg ?
2. Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion de pneus dont la masse dépasse $121,9$~kg dans la production.
   On rappelle que lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance à $95$% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \left[f- 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right].\]
3. Donner une interprétation du résultat précédent.