Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
   $\vec{AB}(-1;0;-6)$ et $\vec{AC}(-3;1;-10)$. ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (une coordonnée nulle). Les points $A,B$ et $C$ définissent donc un plan.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
   $\vec{n}.\vec{AB}=-6+0+6=0$ et $\vec{n}.\vec{AC}=-18+8+10=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   
   3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est normal à ce plan.
   Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $$6x+8y-z+d=0$$
   Le point $A(1;1;14)$ appartient à ce plan donc :
   $6+8-14+d=0 \iff d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x+8y-z=0$.
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par $$\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.$$
   1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
   Regardons si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
   $\vec{u}.\vec{n}=12+8-4=16\neq 0$.
   La droite $\Delta$ n’est donc pas parallèle au plan $(ABC)$; ils sont donc sécants.
   $\quad$
3. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par $$\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.$$ Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
$M(x;y;z)$ un éventuel point d’intersection de l’ensemble $(E)$ avec le plan $(ABC)$.
Ses coordonnées sont donc solutions du système :
$\begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6x+8y-z=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+6t+8t+8-2t=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+12t+8=0\end{cases}$
On appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=6t^3+12t+8$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynôme (donc continue sur $\mathbb{R}$).
$f'(t)=18t^2+12>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
De plus, d’après la limite des termes de plus haut degré on a :
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to -\infty} 6t^3=-\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to +\infty} 6t^3=+\infty$
Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0$ possède une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Il existe donc un unique point $M$ qui appartient à la fois à l’ensemble $(E)$ et au plan $(ABC)$.
$\quad$