Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

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Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d'une colline. On admet qu'aucun vélo des autres stations n'arrive en direction des stations A et B.

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On constate pour chaque heure $n$ qu'en moyenne :
$\bullet $20$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont toujours à cette station.
60$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
$\bullet $10$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station B sont à la station A, 30$\,\%$ sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
$\bullet $Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos.

Partie A

Au bout de $n$ heures, on note $a_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $b_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$ et donc $U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}$.

1. Déterminer la matrice $M$ telle que $U _{n+1} = M \times U_{n}$.
On a ainsi $a_{n+1} = 0,2a_n + 0,1b_n$ et $b_{n+1} = 0,6a_n + 0,3b_n$.
On a donc $M = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,1 \\\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix}$
2. Déterminer $U_{1}$ et $U_{2}$.
$U_1 = M \times U_0 = \begin{pmatrix} 16 \\\\48 \end{pmatrix}$
$\quad$
$U_2 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 8 \\\\ 24 \end{pmatrix}$
3. Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ?
On a $U_3 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 4 \\\\ 12 \end{pmatrix}$
$U_4 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 2 \\\\ 6 \end{pmatrix}$
$U_5 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}$
Par conséquent au bout de $5$ heures, il ne reste plus qu’un seul véol dans la station A.

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Partie B

Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la station B. Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante :

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Au bout de $n$ heures, on note $\alpha_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $\beta_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $V_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}$ et $V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}$. Dans ces conditions $V_{n+1} = M \times V_{n} + R$ avec $R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}$ .

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1. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - M$.
   1. On désigne par $V$ une matrice colonne à deux lignes. Montrer que $V = M \times V + R$ équivaut à $N \times V = R$ .
   $V = M \times V + R \Leftrightarrow$ $V – M \times V = R \Leftrightarrow (I – M) \times V = R $ $\Leftrightarrow N \times V = R$
   
   2. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{- 1} = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}$. En déduire que $V = \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}$
   Puisque $N$ est inversible on a ainsi $V = N^{-1} \times R = \begin{pmatrix} 1,4 & 0,2\\\\1,2 & 1,6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 30 \\\\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}$
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $W_{n} = V_{n} - V$.
   1. Montrer que $W_{n+1} = M \times W_{n}$.
   $$\begin{array}{ll} W_{n+1} &= V_{n+1} – V = M \times V_n + R – V \\ &=M \times V_n + R – (M \times V + R) \\ &=M \times V_n – M \times V \\ &= M \times (V_n – V) \\ &= M \times W_n \end{array}$
   
   2. On admet que :
      pour tout entier naturel $n, W_{n} = M^{n} \times W_{0}$,
      pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$.
      Calculer, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: V_{n}$ en fonction de $n$.
   $W_0= V_0 – V = \begin{pmatrix} 6 \\\\8 \end{pmatrix}$
   $W_n = M_n \times W_0 = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2 \times 6 + 0,1 \times 0,1 \\\\0,6 \times 6 + 0,3 \times 8 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} 2\\\\6\end{pmatrix}$
   On a $V_n = W_n + V = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix}2\\\\6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}$
   
   3. Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?
   On a donc $a_n = 2 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 44$ et $b_n = 6 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 52$.
   or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$.
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 44$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n = 52$.
   Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B se stabilise donc.