Baccalauréat S Liban 27 mai 2014 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.

Unindividu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.

Unindividu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.

Unindividu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant:

• $5\,\%$ des individus tombent malades;
• $20\,\%$ des individus guérissent.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_n$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_n$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience. On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$

1. Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$.

 

$a_1=0,95$, $b_1=0,05$ et $c_1=0$.
1. 1. Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
   
   
   $95\%$ des individus restent sains d'un jour au jour suivant d'où $$a_{n+1}=0,95a_n$$
   1. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$.
   
   
   Au jour $n+1$, $5\%$ des individus sains ($a_n$) deviennent malades (soit $0,05a_n$) et $80\%$ des individus malades $b_n$ le reste ($0,8b_n$), d'où \[b_{n+1}=0,05a_n + 0,8b_n\]
On admet que $c_{n+1} = 0,2b_n + c_n$. Pour tout entier naturel $n$, on définit $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}$ On définit les matrices $A=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0,05&0,8&0\\ 0&0,2&1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0&0,8&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$.
2. 1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$.
   
   
   Pour tout entier naturel $n$, \[A\times U_n=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0,05&0,8&0\\ 0&0,2&1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,95a_n\\ 0,05a_n+0,8b_n\\0,2b_n+c_n \end{pmatrix}=U_{n+1} \]
   1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
   
   
   C'est vrai pour $n=0$ car $D^{0}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ Supposons que $D^n=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ alors: \[D^{n+1}=D\times D^n=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0&0,8&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,95^{n+1}&0&0\\ 0&0,8^{n+1}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \] C'est donc vrai au rang $n+1$ Par récurrence, cela sera vrai pour tout entier naturel $n$.
On admet que $A^n =\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)&0,8^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right)&1-0,8^n&1 \end{pmatrix}$
3. 1. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)$
   $U_n=A^n\times U_0 $, Soit \[\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)&0,8^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right)&1-0,8^n&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,95^n\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right) \end{pmatrix} \] d'où \[b_n=\dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)\]
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$.
   
   
   $(b_n)$ est la somme de deux suites géométriques de raisons comprises entre 0 et 1 qui convergent vers 0, il en est donc de même de $(b_n)$.
   1. On admet que la proportion d'individus malades croût pendant plusieurs jours, puis décroit.
      On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.
      A cet effet, on utilise l'algorithme donné en  annexe 2  à rendre avec la copie, dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$.
      Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en annexe 2.
      Conclure.
   
   
   $$\begin{array}{|ll cl|} \hline \text{Variables}&: &b,~b',~x,~y \text{ sont des réels}&\\ && k \text{ est un entier naturel}&\\ && n \text{ est un entier }&\\ \text{Initialisation}&:& \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 0}&\\ && \text{ Affecter à } b'\text{ la valeur 0,05}&\\ && \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 0 }&\\ && \text{Affecter à } x \text{ la valeur 0,95}&\\ && \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0,8}&\\ \text{Traitement}&:& \text{ Tant que } b < b' \text{ faire: }&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } k \text{ la valeur } k+1&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } b'&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } x \text{ la valeur } 0,95 x&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } y \text{ la valeur } 0,80 y&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } b' \text{ la valeur } \dfrac13(x-y)&\\ &&\text{ Fin Tant que}&\\ \text{Sortie}&:& \text{ Afficher }k& \\ \hline\end{array}$$
   
   
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & k & b & x & y & b' & Test: b < b' ?\\ \hline \hline \text{Après le 7e passage dans la boucle Tant que }& 7 & 0,1628 & 0,6634 & 0,1678 & 0,1652 & \text{Vrai}\\ \hline \text{Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que} & 8 & 0,1652& 0,6302 & 0,1342 & 0,1653 & \text{Vrai}\\ \hline \text{Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que }& 9 & 0,1653 &0,5987 & 0,1073 &0,1637 & \text{Faux}\\ \hline \end{array} $$ Pour chaque ligne du tableau, $b$ désigne $b_k$ et $ b'$ désigne $b_{k+1}$; on a donc : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline b_{k} & 0,1628 & 0,1652 & 0,1653 & 0,1637 \\ \hline \end{array} $$ Le rang du jour où le pic épidémique est atteint est donc le 9.