Exercices corrigés sur le calcul intégral

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$

 

Pour réviser…

  Intégrer, c'est avant tout calculer des primitives, ou des intégrales. Il faut absolument réviser cela.

Exercice 1 - Reconnaissance de formes
Enoncé Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré : \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3,\ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+1)^3},\ I=]-\infty,-2[\\ \mathbf 3.\ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}},\ I=]-\infty,0[&&\mathbf 4.\ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)},\ I=]1,+\infty[. \end{array}
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples
Enoncé Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
  1. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
  2. En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Indication
Corrigé

Ceux qui ont du courage pourront résoudre l'exercice suivant, sur le même modèle. Attention, le dernier exemple comporte beaucoup de calculs!

Exercice 3 - Primitive de fractions rationnelles
Enoncé Déterminer une primitive des fractions rationnelles suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}\textrm{ sur }]1,+\infty[&\quad&\mathbf 2. f(x)=\frac{2x-1}{(x+1)^2}\textrm{ sur }]-1,+\infty[ \\ \mathbf 3.\ f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}\textrm{ sur }]2,+\infty[&&\mathbf 4. f(x)=\frac{24x^3+18x^2+10x-9}{(3x-1)(2x+1)^2}\textrm{ sur }]-1/2,1/3[ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Pour approfondir…

  Bien souvent, on ne sait pas calculer exactement l'intégrale d'une fonction. Ce qui importe alors, c'est d'estimer son comportement… comme dans les exercices suivants!

Exercice 4 - Série harmonique alternée
Enoncé Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$
  1. Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
  2. Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
  3. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Suites d'intégrales
Enoncé Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1. u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2. u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Série harmonique
Enoncé On pose, pour $n\geq 1$, $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$
  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
  2. En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
  3. Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
  4. En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$  que l'on ne cherchera pas à calculer . Que dire de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - En découpant
Enoncé On note, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$ Soit également $\alpha\in [0,1[$.
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$
    On pourra encadrer $ \int_0^\alpha $  puis    $\int_\alpha^1$ .
  2. Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
  3. Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
  4. En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$
Indication
Corrigé
Pour préparer la suite…

  Les calculs de primitives faits en Terminale sont limités par le manque d'outils pour y parvenir. En Math Sup, vous allez apprendre deux outils nouveaux, le changement de variables et l'intégration par parties. Ce dernier outil est suffisamment simple pour pouvoir être prouvé avec ce que vous savez déjà :

Exercice 8 - Démonstration
Enoncé
Soient $u$,$v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$, dont la dérivée est continue.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$u(x)v'(x)=(uv)'(x)-u'(x)v(x).$$
  2. En déduire que $$\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u'(x)v(x)dx.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Intégration par parties - Niveau 1
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 xe^xdx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_1^e x^2\ln xdx$$
Indication
Corrigé

Pour les héros, des applications répétées des intégrations par parties peuvent être utiles!

Exercice 10 - Une suite d'intégrales
Enoncé
Soient $(\alpha,\beta,n)\in\mathbb R^2\times\mathbb N$. Calculer $$\int_\alpha^\beta(t-\alpha)^n (t-\beta)^n dt.$$
Indication
Corrigé
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