Fonction Exponentielle ; des exercices avec corrigé ...

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

En utilisant la méthode d'Euler, tracer avec un tableur une approximation de la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; 2]$ vérifiant : $f'(x)=x^2+x$ et $f(0)=1$.

En utilisant vos connaissances sur les dérivées, rechercher l'expression d'une telle fonction $f$ et comparer sa représentation graphique avec son approximation.

Exercice 2
Enoncé

En utilisant la méthode d'Euler, tracer avec un tableur ou une calculatrice une approximation de la courbe d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-1 ; 1]$, vérifiant : $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ et $f(0)=0$.

 

Exercice 3
Enoncé
  1. On considère un partage de l'intervalle $[0   ;   1 ]$ en n intervalles de même amplitude $n; (n \in \mtns)$.En utilisant les approximations affines et la méthode d'Euler , donner en fonction de n une approximation de $exp(1/n)$ et $exp(2/n)$ .
  2. On considère la suite $(u_n)$définie par $u_n=(1+1/n)^n$. Donner à $10^{ -3}$ près les valeurs de $u_n$ obtenues avec une calculatrice pour : $n=10;n=100;n=1000;n=10 000; n=100 000$.
  3. En déduire une valeur approchée de $exp(1)$.
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Écrire plus simplement : $$\begin{array}{ll}\\1. \quad e^{2x}\times e^{1-2x} &2. \quad \dfrac{e^{2x+3}}{e^{x-1}} \\3. \quad (e^x+e^{-x})^2&4. \quad e^{-2x}-\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}} \end{array} $$

Indication
Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Soit $f$ définie sur $\mtr$ par $f(x)=\left(e^x+e^{x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2$. Montrer que $f$ est une fonction constante sur $\mtr$.

Indication
Corrigé
Exercice 6
Enoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mtr$ par : $f(x)=x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ .

  1. Vérifier que pour tout réel $x$ : $f(x)=x-\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
  2. Montrer que $f(x)=x-1+\dfrac{2}{e^x+1}$ ;
  3. Montrer que $f(x)=x+1-\dfrac{2}{e^{-x}+1}$
  4. Montrer que $ f$ est dérivable sur $\mtr$ , vérifier que :$f'(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{(e^x+1)^2}=\dfrac{1+e^{-2x}}{(e^{-x}+1)^2}$ .
Indication
Corrigé
Exercice 7
Enoncé

Démontrer que pour tout $x \in \mtr$ , on a : $e^x-x-1\geq 0$.

Indication
Corrigé
 

Exercice 8

Enoncé

Résoudre dans $\mtr$ les inéquations suivantes :

  1. $e^{2x-1}>1$
  2. $e^x-e^{2x}\geq 0$ ;
  3. $e^{2x+5}<e^{1-x}$.

 

Corrigé
Exercice 9
Enoncé Déterminer les limites suivantes : $$\begin{array}{ll} 1. \quad \dis\lim_{x\to +\infty}3xe^{-x}& 2 . \quad \dis\lim_{x\to -\infty}(x+1)e^x\\ 3.\quad \dis\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2e^x-5}{3x}& 4. \quad \dfrac{e^x-1}{x^3}\\ 5. \quad \dis\lim_{x\to -\infty}\dfrac{e^x+e^{-x}}{3+e^x}& \end{array}$$
Corrigé
Exercice 10
Enoncé Déterminer les limites suivantes : $$\begin{array}{ll} 1. \quad \dis\lim_{x\to +\infty}e^{x^2-3x-5}& 2 . \quad \dis\lim_{x\to -\infty}e^{x^2-3x-5}\\ 3.\quad \dis\lim_{x\to +\infty}2+3e^{-x^2+1}& 4. \quad \dis\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ e^x-3}{e^x+2}\\5. \quad \dis\lim_{x\to 0}\dfrac{ e^x+1}{e^{2x}} & \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 11
Enoncé

Soit $(C)$ la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mtr$ par : $f(x)=3x-1+\dfrac{e^x}{e^x+1}$ .

Démontrer que $(C)$ a deux asymptotes obliques dont on donnera une équation.

Indication
Corrigé
Exercice 12
Enoncé
  1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mtr$ par $f(x)=\dfrac{e^{ 2x }-1}{e^{ 2x }+1 }$.
  2. Dresser son tableau de variations. Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ .
  3. Donner l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. Tracer $\mathcal{C}$ et $T$.
  4. Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ a une solution unique $\alpha$ dans $\mtr$ . Donner une valeur approchée de $\alpha$ .
Indication
Corrigé
Exercice 13
Enoncé

Résoudre dans $\mtr$ les équations suivantes :

$$\begin{array}{ll} 1. \quad e^{2x+1}-1=0& 2 . \quad e^{x+1}-e^{2x-3}=0 \\ 3.\quad e^{x-1}\times e^{3x+5}=1& 4. \quad e^{2x}+e^x-2=0\\ 5. \quad\dfrac{2e^x+1}{e^x}=2e^3+e^{-x} &\\\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 14
Enoncé

Justifier que chacune des fonctions est dérivable sur $\mtr$ , calculer la dérivée et étudier le signe de cette dérivée.

$$\begin{array}{ll} 1. \quad f(x)=e^{2x^2+1}& 2 . \quad g(x)=(2x+1)e^{2x+1} \\ 3.\quad h(x)=\dfrac{ e^x-e^{-x}}{ 2}& 4. \quad t(x)=\dfrac{3e^x}{e^{2x}+1} \end{array}$$
Indication
Corrigé

 

 

  • Vues: 1203

Rechercher