Baccalauréat S Pondichéry 4 mai 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives $(2~;~1~;~4)$, $(4~;~-1~;~0)$, $(0~;~3~;~2)$ et $(4~;~3~;~-2)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
2. Soit $M$ un point de la droite (CD).
   1. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale.
   2. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées $(3~;~3~;~- 1)$. Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
   3. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm$^2$.
3. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD).
   2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par A et orthogonale au plan (BCD).
   4. Démontrer que le point I, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (BCD) a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
   5. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.