Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 - Spécialité
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On appelle suite de Fibonacci la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}.\] On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
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- Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu'à $u_{10}$.
- Que peut-on conjecturer sur le PGCD de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$?
- On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n+1} = -v_n$.
- En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1} = \left (-1\right )^{n-1}.\]
- Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.
Partie B
On considère la matrice $F=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.
- Calculer $F^2$ et $F^3$. On pourra utiliser la calculatrice.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[F^n = \begin{pmatrix} u_{n+1} & u_n \\ u_n & u_{n-1} \end{pmatrix}\]
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- Soit $n$ un entier naturel non nul. En remarquant que $F^{2n+2} = F^{n+2}\times F^{n}$, démontrer que \[u_{2n+2} =u_{n+2}\times u_{n+1}+ u_{n+1}\times u_n.\]
- En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{2n+2} = u_{n+2}^2 - u_n^2.\]
- On donne $u_{12}=144$. Démontrer en utilisant la question 3. qu'il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l'une étant égale à 12. Donner la longueur des deux autres côtés.
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