Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On appelle suite de Fibonacci la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}.\] On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

 

1. 1. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu'à $u_{10}$.
   On a :
   $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=2$, $u_4=3$, $u_5=5$, $u_6=8$, $u_7=13$, $u_8=21$, $u_9=34$ et $u_{10}=55$
   $\quad$
   
   2. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$?
   Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ le PGCD de $u_n$ et de $u_{n+1}$ soit égal à $1$.
   $\quad$
2. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n+1} = -v_n$.
   Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-u_{n+2}\times u_n \\
   &={u_{n+1}}^2-\left(u_{n+1}+u_n\right)\times u_n \\
   &={u_{n+1}}^2-u_{n+1}\times u_n-{u_n}^2 \\
   &=-{u_n}^2+u_{n+1}\left(u_{n+1}-u_n\right)\end{align*}$
   Or, $u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \iff u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$.
   Par conséquent $v_{n+1}=-{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=-v_n$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1} = \left (-1\right )^{n-1}.\]
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-1$ et de premier terme $v_1={u_1}^2-u_2\times u_0=1$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=(-1)^{n-1}$.
   Par conséquent ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$.
   $\quad$
   
   3. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.
   Soit $n$ un entier naturel $n$ non nul.
   Si $n$ est impair alors $n-1$ est pair et
   ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
   $\iff u_n\times u_n-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
   D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
   $\quad$
   Si $n$ est pair alors $n-1$ est impair et
   ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=-1$
   $\iff -{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
   $\iff -u_n\times u_n++u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
   D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
   La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
   De plus le PGCD de $0$ et $1$ est $1$. La conjecture est également vraie pour $n=0$.
   La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$

 

Partie B

On considère la matrice $F=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.

1. Calculer $F^2$ et $F^3$. On pourra utiliser la calculatrice.
On a $F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$.
$\quad$
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[F^n = \begin{pmatrix} u_{n+1} & u_n \\ u_n & u_{n-1} \end{pmatrix}\]
Montrons cette propriété par récurrence.
Initialisation : Si $n=1$ alors $F^1=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2&u_1\\u_1&u_0\end{pmatrix}$.
La propriété est vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$, c’est à dire $F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, soit $F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} F^{n+1}&=F\times F_n \\
&=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} u_{n+1}+u_n&u_n+u_{n-1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $F_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
$\quad$
3. 1. Soit $n$ un entier naturel non nul. En remarquant que $F^{2n+2} = F^{n+2}\times F^{n}$, démontrer que \[u_{2n+2} =u_{n+2}\times u_{n+1}+ u_{n+1}\times u_n.\]
   Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ soit $u_{n+1}=u_{n+2}-u_n$
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
   $\begin{align*} u_{2n+2}&=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n \\
   &=u_{n+1}\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
   &=\left(u_{n+2}-u_n\right)\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
   &={u_{n+2}}^2-{u_n}^2\end{align*}$
   $\quad$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{2n+2} = u_{n+2}^2 - u_n^2.\]
   Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $F^{2n+2}=F^{n+2+n}=F^{n+2}\times F_n$.
   Par conséquent :
   $\begin{pmatrix} u_{2n+3}&u_{2n+2}\\u_{2n+2}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+3}&u_{n+2}\\u_{n+2}&u_{n+1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$
   En identifiant les coefficients de la $2$^ieme ligne, $1^{\text{ère}}$ colonne on obtient $u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$.
   $\quad$
4. On donne $u_{12}=144$. Démontrer en utilisant la question 3. qu'il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l'une étant égale à 12. Donner la longueur des deux autres côtés.
D’après la question précédente on a, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${u_{n+2}}^2=u_{2n+2}+{u_n}^2$
La solution de l’équation $2n+2=12$ est $n=5$.
Par conséquent :
${u_7}^2=u_{12}+{u_5}^2$
$\iff 13^2=144+5^2$
$\iff 13^2=12^2+5^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$ unités est rectangle.
$\quad$