Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Exercice 2

Page 4 sur 10: Correction Exercice 2

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d'entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd auxun point si sa réponse est fausse.
On considère trois candidats:

• Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions. Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est égale à $\dfrac{1}{4}$;
• Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\dfrac{1}{2}$;
• Camille fait encore mieux: pour chacune des questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\dfrac{2}{3}$.

 

1. On note $X$, $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.
   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$? Justifier.
   Les vingt questions sont indépendantes. Les “tirages” sont aléatoires, identiques et possèdent deux issues :”Anselme répond correctement” ou non.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
   $\quad$
   
   2. À l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi au millième de la probabilité $P(X \geqslant 10)$.

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   À l’aide de la calculatrice on obtient $P(X\geq 10) =1-P(X\leq 9) \approx 0,014$.
   $\quad$

Dans la suite, on admettra que $P(Y\geqslant 10) \approx 0,588$ et $P(Z\geqslant 10)\approx 0,962$.

2. On choisit au hasard la copie d'un de ces trois candidats. On note $A$, $B$, $C$ et $M$ les évènements:
   • $A$: « la copie choisie est celle d'Anselme »;
   • $B$: « la copie choisie est celle de Barbara »;
   • $C$: « la copie choisie est celle de Camille »;
   • $M$: « la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 ».
   
   On constate, après l'avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 sur 20.
   Quelle est la probabilité qu'il s'agisse de la copie de Barbara? On donnera l'arrondi au millième de cette probabilité.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(M)&=p(M\cap A)+p(M\cap B)+p(M\cap C) \\
&\approx \dfrac{1}{3}\times 0,014+\dfrac{1}{3}\times 0,588+\dfrac{1}{3}\times 0,962 \\
&\approx 0,521 \end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} p_M(B)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(M)} \\
&\approx \dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{0,521} \\
&\approx 0,376 \end{align*}$
La probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara sachant que la note est supérieure ou égale à $10$ est d’environ $0,376$.
$\quad$