Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.
On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.\] On se place dans le plan complexe d'origine O.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
   $z_{n+4}=\dfrac{1+\text{i}}{(1-\text{i})^n(1-\text{i})^4}=\dfrac{1+\text{i}}{-4(1-\text{i})^n}=\dfrac{-1}{4}z_n$
   Par conséquent $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}=-\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
   Un argument de $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est donc $\pi$.
   Or $\left(\vec{OA_n},\vec{OA_{n+4}}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_{n+4}}{z_n}\right)+2k\pi=\pi+2k\pi$
   Les points $O,A_n$ et $A_{n+4}$ sont donc alignés.
   $\quad$
2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ?
$|1+\text{i}|=\sqrt{2}$ donc $1+\text{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}$
De même $1-\text{i}=\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/4}$
Ainsi $z_n=\dfrac{\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}}{\left(\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/4}\right)^n}=\sqrt{2}^{1-n}\text{e}^{\text{i}(n+1)\pi/4}$
$z_n$ est réel si, et seulement si, $n+1=4k$ avec $k\in \mathbb{Z}$
si, et seulement si, $n=4k-1$ avec $k\in \mathbb{Z}$