Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un territoire donné, on s'intéresse à l'évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies). Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par : \[\left\{\begin{array}{rcl} b_0 &=& 1000 \\ c_0 &=& 1500 \\ b_{n+1} &=&\ - 0,3 b_n + 0,5c_n\\ c_{n+1} &=&- 0,5b_n +1,3c_n \end{array}\right.\] où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le $1^\text{er}$ juin de l'année $2000 + n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

  1. On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 \\ -0,5 & 1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix} b_n \\ c_n \end{pmatrix}$.
    1. Vérifier que $U_1 = \begin{pmatrix} 1050 \\ 1450 \end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
    2. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = AU_n$.
    On donne les matrices $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $T = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
  2. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
    1. Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
    2. On admet que $A = PTQ$. Démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a \[A^n=PT^nQ.\]
    3. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, \[T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}.\]
  3. Lucie exécute l'algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N = 40$. Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols ? $$\begin{array}{|rl|} \hline \text{Initialisation: }& N \text{prend la valeur } 0 \\ & B \text{ prend la valeur 1000} \\ & C \text{ prend la valeur 1500} \\ \text{Traitement :} & \text{Tant que } B > 2 \text{ ou } C > 2 \\ & \qquad N \text{ prend la valeur } N + 1 \\ & \qquad R \text{ prend la valeur }B \\ & \qquad B \text{ prend la valeur } - 0,3R + 0,5C \\ & \qquad C \text{ prend la valeur }- 0,5R + 1,3C \\ &\text{ Fin Tant Que} \\ \text{Sortie :} & \text{Afficher } N \\ \hline \end{array} $$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a \[U_n = \begin{pmatrix} 1000 \times 0,8^n +\dfrac{625}2n \times 0,8^n \\[.4cm] 1500 \times 0,8^n + \dfrac{625}2n \times 0,8^n \end{pmatrix} \] et \[n \leqslant 10 \times 1,1^n.\]
    1. En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    2. Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieure à au moins $50$ individus. À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l'exercice vous paraît-il cohérent ?
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