Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2015.

Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015

Page 1 sur 10

Page 1 sur 10

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$. Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par \[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\] On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels.  

  1. Etude du cas particulier $a = 2$ La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
    1. Etudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb R$ ( on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition .
    2. En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
  2. Etude du cas général où $a$ est un réel strictement positif
    1. Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
    2. Etudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\mathbb R$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
    3. Etudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
    4. Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.

     

    Correction Exercice 1
    Page
  • Vues: 16316

Rechercher