Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - Correction Exercice 2
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Correction de l'exercice 2 (5 points)
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
- On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
- Donner la valeur $P_L(C)$. D’après l’énoncé, on observe que $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte. Donc $P_L(C) = 0,02$.
- Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1 000 heures? Cela signifie donc que $P_L\left(\overline{C}\right) = 1-0,02=0,98$ et $P\left(L \cap \overline{C}\right) = P(L)\times P_L\left(\overline{C}\right)=0,95 \times 0,98 = 0,931$.
- Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ? On cherche donc à calculer ici :
$P\left(\left(L \cap C\right) \cup \overline{L}\right) = 1 – P\left(L \cap \overline{C}\right) = 1 – 0,931 = 0,069$.
Ou de façon équivalente : Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie courte on a :$P\left(\left(L \cap C\right) \cup \overline{L}\right) =P\left(\left(L \cap C\right) \right)+ P\left( \overline{L}\right) = 0,05+0,019 = 0,069.$ Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
- On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce. On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
- Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{1000}$. On sait que $P(X \le 1~000) = 0,02$.
- Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 10 000 heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. $P(X \ge 10~000) = \text{e}^{-10~000\lambda} \approx 0,817$.
- Calculer $P(20000 \leqslant X \leqslant 30000)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat. $P(20~000 \le X \le 30~000) = \text{e}^{-20~000\lambda} – \text{e}^{-30~000\lambda} \approx 0,122$.
- Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003$. On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
Puisque $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, cela signifie donc que :
$P(X \le 1~000) = 1 – \text{e}^{-1~000\lambda}$
Par conséquent :
$$ \begin{array}{rl} 1 – \text{e}^{-1~000\lambda} = 0,02 & \Leftrightarrow -\text{e}^{-1~000\lambda} = -0,98 \\ & \Leftrightarrow -1~000\lambda = \ln (0,98) \\ & \Leftrightarrow \lambda = \dfrac{-\ln (0,98)}{1~000}
\end{array}$$
Cela signifie donc qu’environ $81,7\%$ des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à $10~000$ heures.
Cela signifie donc qu’environ $12,2\%$ des puces ont une durée de vie comprise entre $20~000$ et $30~000$ heures.
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- Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 15000 $ et $p = 0,003$.
- « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
- « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$
- Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$. $E(Y) = np = 15~000\times 0,003 = 45$.
- Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$. $P(40 \le Y \le 50) = P(Y \le 50) – P(Y \le 39) \approx 0,589$.
On répète $\1$ fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :
Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$ et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .
Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$
2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\5) -2ND DISTR A binomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\5)-binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \6$$$$P( \4 \leq \7\leq\5 )\approx \6 \text{ à } 10^{-\8} \text{ près.}$$
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