Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles. A la sortie de fabrication, 5% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients. On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1 000 heures. On observe que 2% des puces livrées ont une durée de vie courte. On note $L$ l'évènement « La puce est livrée ». On note C l'évènement « La puce a une durée de vie courte c'est-à -dire inférieure ou égale à 1000 heures ». Etant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
  1. On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
    1. Donner la valeur $P_L(C)$.
    2. D’après l’énoncé, on observe que $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte. Donc $P_L(C) = 0,02$.
    3. Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1 000 heures?
    4. Cela signifie donc que $P_L\left(\overline{C}\right) = 1-0,02=0,98$ et $P\left(L \cap \overline{C}\right) = P(L)\times P_L\left(\overline{C}\right)=0,95 \times 0,98 = 0,931$.
    5. Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
    6. On cherche donc à calculer ici :
      $P\left(\left(L \cap C\right) \cup \overline{L}\right) = 1 – P\left(L \cap \overline{C}\right) = 1 – 0,931 = 0,069$.
      Ou de façon équivalente : Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie courte on a :$P\left(\left(L \cap C\right) \cup \overline{L}\right) =P\left(\left(L \cap C\right) \right)+ P\left( \overline{L}\right) = 0,05+0,019 = 0,069.$
  2. Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce. On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
    1. Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{1000}$.
    2. On sait que $P(X \le 1~000) = 0,02$.
      Puisque $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, cela signifie donc que :
      $P(X \le 1~000) = 1 – \text{e}^{-1~000\lambda}$
      Par conséquent :
      $$ \begin{array}{rl} 1 – \text{e}^{-1~000\lambda} = 0,02 & \Leftrightarrow -\text{e}^{-1~000\lambda} = -0,98 \\ & \Leftrightarrow -1~000\lambda = \ln (0,98) \\ & \Leftrightarrow \lambda = \dfrac{-\ln (0,98)}{1~000}
      \end{array}$$
    3. Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 10 000 heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
    4. $P(X \ge 10~000) = \text{e}^{-10~000\lambda} \approx 0,817$.
      Cela signifie donc qu’environ $81,7\%$ des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à $10~000$ heures.
    5. Calculer $P(20000 \leqslant X \leqslant 30000)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
    6. $P(20~000 \le X \le 30~000) = \text{e}^{-20~000\lambda} – \text{e}^{-30~000\lambda} \approx 0,122$.
      Cela signifie donc qu’environ $12,2\%$ des puces ont une durée de vie comprise entre $20~000$ et $30~000$ heures.
    7. Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003$. On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
    1. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 15000 $ et $p = 0,003$.
    2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

      • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
      • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

      Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

      Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

    3. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.
    4. $E(Y) = np = 15~000\times 0,003 = 45$.
    5. Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.
    6. $P(40 \le Y \le 50) = P(Y \le 50) – P(Y \le 39) \approx 0,589$.

      2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\5) -2ND DISTR A binomFRép( \1 , \2,\3)EXE


      Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\5)-binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \6$$

      $$P( \4 \leq \7\leq\5 )\approx \6 \text{ à } 10^{-\8} \text{ près.}$$
Exercice 3
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