Baccalauréat S Liban 27 mai 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$: \[z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n.\]
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

  1. Calculer $u_0$.
  2. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
  5. Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$. $$\begin{array}{|lcl|} \hline\text{Variables}&: &u \text{ est un réel}\\ &&p \text{ est un réel}\\ && n \text{ est un entier}\\ \text{Initialisation}&:& \text{Affecter à  } n \text{la valeur 0}\\ && \text{Affecter à  } u \text{la valeur 2}\\ \text{Entrée}&:& \text{Demander la valeur de } p \\ \text{Traitement}&:&\\ && \\ && \\ &&\\ \text{Sortie}&:& \\ \hline \end{array}$$

Partie B

  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
  2. Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
  3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$

 

Correction Exercice 4
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