Baccalauréat S Liban 27 mai 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\ y=1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\ z=-5+3t \end{cases}$ On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$

1. Proposition 1 :
   Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\ y=-1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\ z=-2+t \end{cases}$
Vraie .

 

Il suffit de vérifier que les coordonnées des deux points A et B vérifient le système formé des trois équations paramétriques. Pour $t=2$ on retrouve les coordonnées du point A, et pour $t=1$ celles du point B.
1. Proposition 2 :
   Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
Vraie .

 

$\mathcal{D}$ est dirigée par $\vec{d}$ de coordonnées $(2,~1,~3)$ et $(AB)$ par $\vec{AB}$ de coordonnées $(-2,~1,~1)$. Or $\vec{AB}\cdot \vec{d}= -4+1+3=0$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{d}$ sont donc orthogonaux, les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont donc orthogonales.
1. Proposition 3 :
   Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
Fausse

 

Pour savoir si ces deux droites sont coplanaires, il suffit de savoir si elles sont sécantes, car étant orthogonales elles ne pourront pas être parallèles.

 

Pour cela on résout le système \[\begin{cases} 2t\hspace{0.7cm}=\;5-2t'&\quad(1)\\ 1+t\hspace{0.4cm}=\;-1+t'&\quad(2)\\ -5+3t=\;-2+t'&\quad(3) \end{cases}\]

 

En soustrayant membre à membre (3) et (2), il vient $2t-6=-1$ soit $t=\dfrac52$. On remplace dans (2): $t'=-2+t=-2+\dfrac52=\dfrac12$.

 

On vérifie dans (1): $2t=5$, alors que $5-2t'=5-1=4$. Ce qui signifie que ce système n'a pas de solution.

 

Puisque ces deux droites sont orthogonales et non sécantes, elles seront donc non coplanaires.
1. Proposition 4 :
   La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;~-3;~-4)$.
Fausse

 

On vérifie facilement que $E\in\mathcal{P}$, mais $E\notin\mathcal{D}$.

 

En effet, si on résout le système \[\begin{cases} 8=2t\\ -3=1+t\\ -4=-5+3t \end{cases}\]

 

On trouve que $t=4$ dans la première équation, valeur qui ne convient pas dans la seconde équation.
1. Proposition 5 :
   Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
Vraie .

 

Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

 

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ont pour coordonnées respectives $(2,~-1,~-1)$ et $(6,~0,~-2)$,

 

d'où \[\vec{n}\cdot\vec{AB}=2+1-3=0\quad\text{et}\quad \vec{n}\cdot\vec{AC}=6+0-6=0 \] $\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABC)$.

 

$\mathcal{P}$ et $(ABC)$ ayant un vecteur normal commun sont donc parallèles.