Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par
\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]
Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

Partie A

1. Donner $a_0$ et $b_0$.
2. Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
3. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& A \text{ et } B \text{ sont des nombres réels}\\ & K \text{ et } N \text{ sont des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 1\\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}& \\ \text{Entrer la valeur de } N&
   \text{Pour } K \text{ variant de 1 à } N\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } \dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3} \\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } \dfrac{B}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\  & \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
   $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline K & A & B\\\hline 1& & \\\hline 2& & \\\hline \end{array}$$
   2. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
   En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
2. Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$ ? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de $\left(b_n \right)$.
3. 1. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
      \[\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.\]
      Montrer que pour tout entier naturel $n$,
      \[\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.\]
   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
      \[u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.\]
      En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
   3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.