Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Exercice 3

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Exercice 3   5 points

Commun à tous les candidats

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

  1. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
  2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
  3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:
\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\] et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ du plan.

    1. Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
    2. Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
  1. On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\text{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).
    Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
  2. Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
    1. On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe 2.
    2. Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$.
      On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
      Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.
      En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
Correction de l'Exercice 3
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