Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Correction de l'Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

1. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
   • En $+\infty$:
     $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$
   • En $-\infty$: on écrit $f(x) = (x + 1)\text{e}^x=f(x) = x \text{e}^x+ \text{e}^x$
     $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$
2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
$f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$. Elle est donc également dérivable sur $\mathbb R$.
$f=uv$, donc $f'=u'v+v'u$.
$f'(x)=\text{e}^x+(x+1)\text{e}^x=(x+2)\text{e}^x$.

3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
$f(-2)=-\text{e}^{-2}$

Partie B

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:
\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\] et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ du plan.

1. 1. Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
   $g_m(x)=0 \Leftrightarrow x+1=m\text{e}^{-x} \Leftrightarrow (x+1)\text{e}^{x} = m \Leftrightarrow f(x) = m$
   
   2. Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
   D’après le tableau de variations :
   Si $m > 0$, l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution
   Si $m\in [0;-\text{e}^{-2}]$, l’équation possède $2$ solutions
   Si $m = -\text{e}^{-2}$, l’équation possède une solution
   Si $m < -\text{e}^{-2}$, l’équation ne possède pas de solution
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2. On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\text{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).
   Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
La courbe $1$ n’a pas de point commun avec l’axe des abscisses. Donc $m <-\text{e}^{-2}$.
Par conséquent $m=-\text{e}$.
Le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $2$. Cela n’est possible que pour $m=0$.
La courbe $3$ correspond donc à $m=e$
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3. Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
$g_m(x)-(x+1) = -m\text{e}^{-x}$. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de cette expression ne dépend donc que de celui de $m$.
Si $m > 0$, alors la droite est au-dessus de la courbe.
Si $m = 0$, la courbe et la droite sont confondues.
Si $m < 0$, alors la droite est au-dessous de la courbe.
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4. 1. On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe 2.
   
   2. Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$.
      On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
      Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.
      En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
   $\mathcal{A}(a) = \displaystyle \int_0^a \left(x+1+\text{e}\times \text{e}^{-x} – (x+1- \text{e} \times \text{e}^{-x}) \right) \text{d}x$ $= \displaystyle\int_0^a 2\text{e}\times \text{e}^{-x} \text{d}x$ $=\left[-2\text{e} \times \text{e}^{-x} \right]_0^a$ $=-2\text{e} \times \text{e}^{-a} + 2\text{e}$ $=2\text{e} – 2\text{e}^{1-a}$.
   Par conséquent $\lim\limits_{a \rightarrow -\infty} \mathcal{A}(a) = 2\text{e}$
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