Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Exercice 2
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Exercice 2 5 points
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]
- On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}&n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel positif}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander la valeur de } n\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}&\text{Pour } i \text{variant de }1 \text{ à } n :\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt{2u}\\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$- Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
- Que permet de calculer cet algorithme ?
- Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline \text{Valeur affichée} &\ 1,4142 & 1,9571 & 1,9986 & 1,9999 & 1,9999 \\ \hline \end{array}$$
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$.
- Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
- On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$.
- Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - \ln 2$.
- Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$. $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} & n \text{ est un entier naturel}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Initialisation :}&\text{ Affecter à } \, n \text{ la valeur } 0 \\ &\text{Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement : }&\\ &\\ \text{Sortie : } &\\ \hline \end{array}$$
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