Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
\[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu' initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$ m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$ m. Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 250] par
\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]

1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$  ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 250].
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$m.
   Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$. Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0;250] par
   $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
3. Déterminer la valeur moyenne valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
   En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.