Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Correction de l'Exercice 2

Page 4 sur 10: Correction de l'Exercice 2

Exercice 2 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

1. On considère l'algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}&n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel positif}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander la valeur de } n\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}&\text{Pour } i \text{variant de }1 \text{ à } n :\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt{2u}\\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$
   1. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
   Voici les valeurs que nous donne l’algorithme
   
   

   I	u
   $0$	$1$
   $1$	$1,41421356$
   $2$	$1,68179283$
   $3$	$1,83400809$

   L’algorithme fournit donc la valeur $1,8340$ à $10^{-4}$ près.
   $\quad$

   1. Que permet de calculer cet algorithme ?
   L’algorithme fournit donc la valeur $1,8340$ à $10^{-4}$ près.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour
      certaines valeurs de $n$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline \text{Valeur affichée} &\ 1,4142 & 1,9571 & 1,9986 & 1,9999 & 1,9999 \\ \hline \end{array}$$
      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
   L’algorithme nous donne la $n$-ième valeur de la suite $(u_n)$.
   
   
   Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit positive,croissante et tende vers $2$. $\quad$
   
   

    

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   
   
   • Initialisation : $u_0 = 1$ : la propriété est vraie au rang $0$.
   • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n \le 2$.
     Alors $0 < 2u_n \le 4$ et donc $0 < \sqrt{2u_n} \le 2$ (car la fonction racine carrée est croissante).
     La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   • Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
     Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $0 < u_n \le 2$.
     $\quad$
   1. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
   $u_{n+1}- u_n = \sqrt{2u_n} – u_n = \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \right)$
   
   
   Or $\sqrt{u_n} > 0 $ et on sait que $0 < u_n \le 2$ par conséquent $0 < \sqrt{u_n} \le \sqrt{2}$ d'après la stricte croissance de la fonction racine carrée sur $[0;+\infty[$.
   
   
   $\left.\begin{array}{l} \sqrt{u_n} > 0 \\ \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \geq  0\end{array}\right\}$ par produit on obtient: $ \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \right) \geq  0$
   
   
   Finalement $u_{n+1} – u_n \ge 0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
   La suite $(u_n)$ est croissante et majorée. Elle converge donc.

• On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$.
  1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - \ln 2$.
  $v_{n+1} = \text{ln } u_{n+1} – \text{ln } 2$ $= \text{ln } \sqrt{2u_n} - \text{ln } 2 $ $=\dfrac{1}{2} \text{ln } 2u_n - \text{ln } 2 $ $=\dfrac{1}{2} \left(\text{ln } 2 + \text{ln } u_n \right) - \text{ln } 2 $ $= \dfrac{1}{2} \text{ln } u_n – \dfrac{1}{2} \text{ln } 2$ $=\dfrac{1}{2} v_n$.
  
  
  La suite $(v_n)$ est donc gémétrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
  
  
  Son premier terme est $v_0 = \text{ln } u_0 - \text{ln } 2 = -\text{ln } 2$.
  
  
  $\quad$
  
  
  1. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
  Par conséquent $v_n = \left( \text{ln } 2 \right) \times \left( \dfrac{1}{2} \right) ^n$.
  
  
  On sait que $v_n = \text{ln } u_n - \text{ln } 2$ donc $\text{ln } u_n = v_n + \text{ln } 2$
  
  
  D’où $u_n = \text{exp} \left( v_n + \text{ln } 2 \right)$ $=\text{exp}(v_n) \times 2$.
  
  
  Par conséquent $u_n = 2\text{exp}\left(-(\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)$.
  
  
  $\quad$
  
  
  1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
  Comme $-1< \dfrac{1}{2} <1$ on déduit $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = 0$
  
  
  donc $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~(-\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n =0\\ \lim\limits_{t \to 0}~e^t=1 \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}\text{exp}\left( (-\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right) =\text{exp}(0)=1$
  
  
  Or $u_n = 2\text{exp}\left(-(\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)$ ainsi $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 2$
  
  
  $\quad$
  
  
  1. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$. $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} & n \text{ est un entier naturel}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Initialisation :}&\text{ Affecter à } \, n \text{ la valeur } 0 \\ &\text{Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement : }&\\ &\\ \text{Sortie : } &\\ \hline \end{array}$$

Variables :	$n$ est un entier naturel $u$ est un réel
Initialisation :	Affecter à $n$ la valeur $0$ Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement :	Tant que $u \le 1,999$ $u$ prend la valeur $n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher $n$