Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013 - Correction de l'Exercice 4

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Exercice 4

Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité\index{probabilité} qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
• Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
• Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$. 
  On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine » .
  On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$.

1. 1. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité.
   
   Calculons la probabilité de l'événement $E_3$.
   $E_3=\left (E_2\cap E_3 \right )\cup \left (\overline{E_2}\cap E_3\right )$.
   La formule des probabilités totales donne $p(E_3)=p\left (E_2\cap E_3 \right )+p \left (\overline{E_2}\cap E_3\right )=p(E_2)\times p_{E_2}(E_3)+p(\overline{E_2})\times p_{\overline{E_2}}(E_3)$
   soit $p(E_3)= 0,04\times 0,24+ 0,96\times 0,04=0,048$
   2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
   On veut calculer la probabilité conditionnelle $p_{E_3}(E_2)=\dfrac{p(E_2\cap E_3)}{p(E_3)}=\dfrac{0,04\times 0,24}{ 0,048}=0,2$
   $p_{E_3}(E_2)= 0,2$
2. 1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
   
   
   
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
   Calculons la probabilité de l'événement $E_{n+1}$.
   $E_{n+1}=\left (E_n\cap E_{n+1} \right )\cup \left (\overline{E_n}\cap E_{n+1}\right )$.
   La formule des probabilités totales donne $p_{n+1}=p(E_{n+1})=p\left (E_n\cap E_{n+1} \right )+p \left (\overline{E_n}\cap E_{n+1}\right )=p(E_n)\times p_{E_{n+1}}(E_n)+p(\overline{E_n})\times p_{\overline{E_{n+1}}}(E_n)$
   soit $p_{n+1}=p(E_{n+1})= p_n\times 0,24+ \left (1-p_n\right )\times 0,04=0,2p_n+0,04$
   $p_{n+1}=0,2p_n+0,04$
   3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
   $$u_{n+1} = p_{n+1} - 0,05 = 0,2p_n + 0,04 - 0,05 = 0,2p_n - 0,01 = 0,2(p_n-0,05) = 0,2u_n$$ $u_1=−0,05$ Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme -0,05. Par conséquent : $$u_n=-0,05 \times 0,2^{n-1} \qquad \text{et} \qquad p_n = 0,05 – 0,05 \times 0,2^{n-1}$$
   4. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
   $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,2^n = 0$ car $-1 < 0,2 < 1$ Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}p_n = 0,05$
   5. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant :
      $$ \begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Variables} & K \text{et}  J \text{sont des entiers naturels,}  P \text{est un nombre réel}\\ \text{Initialisation} & P  \text{prend la valeur}  0\\ &J  \text{prend la valeur}  1\\ \text{Entrée}&\text{ Saisir la valeur de } K\\ \text{Traitement} &\text{Tant que} P < 0,05 - 10^{- \text{K}}\\ &\quad P  \text{prend la valeur}  0,2 \times \text{P} + 0,04\\ &\quad J  \text{prend la valeur} J + 1\\ &\text{Fin tant que }\\ \text{Sortie} &\text{Afficher } J \\ \hline \end{array} $$
      À quoi correspond l'affichage final J ?
   L'affichage final fournit le premier rang $N$ tel que $\left |p_N-0,05\right |\leq 10^{-\text{K}}$, où K est un entier choisi par l'utilisateur.
   En effet comme $p_n=0,05-0,02\times0,2^{n-1}$, on a pour tout $n; p_n < 0,05$ et comme l'algorithme calcule en autre les termes successifs de $\left (p_n\right )$, à partir de la relation de récurrence $p_{n+1}=0,2p_n+0,04$, traduit en P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$
   P $\geq 0,05 - 10^{- \text{K}}$ s'écrit $p_n\geq 0,05 - 10^{- \text{K}}$
   On a ainsi $0,05 - 10^{- \text{K}}\leq p_n< 0,05 $ soit $- 10^{- \text{K}}\leq p_n- 0,05 < 0$
   ce qui s'écrit $\left |p_N-0,05\right |\leq 10^{-\text{K}}$.
   Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
   
   Comme on sait que la suite $\left (p_n\right )$ converge vers 0,05,tout intervalle ouvert $I$ centré en $0,05$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.En particulier $I=]0,05- 10^{- \text{K}};0,05+ 10^{- \text{K}}[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$,
   alors pour $n\geq N$ on a $\left |p_N-0,05\right |\leq 10^{-\text{K}}$

Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité\index{probabilité} pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
   Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
On est en présence d'un schéma de Bernoulli:
Succès : « le salarié est malade une semaine donnée » avec la probabilité $p=0,05 $
Echec : « le salarié n' est pas malade une semaine donnée » avec la probabilité $q=1-p=0,95$
On répète 220 fois cette expérience de façon indépendante et on considère la variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de succès .
$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left (220;0,02\right )$ de paramètre $n=220$ et $p=0,02$
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
$\mu =np=220\times 0,05= 11$ et $\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{11\times 0,95}\approx 3,23$
$\mu =11$, et $\sigma\approx 3,23$.
2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
   On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
   Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -1,55 &-1,24 &-0,93 &- 0,62 &- 0,31 &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline P(Z < x) & 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline \end{array}$$
   Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 » .
On veut calculer la probabilité de l'événement $7\leq X\leq 15$ qui s'écrit de façon équivalente :
$$7-11\leq X -11\leq 15 -11$$
$$-4\leq X -11\leq4$$ $$-\dfrac{4}{\sigma}\leq \dfrac{X -11}{\sigma} \leq\dfrac{4}{\sigma} $$
$$-\dfrac{4}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{4}{\sigma} $$
Comme $\dfrac{X -11}{\sigma}$ approche la loi normale centrée réduite $Z$, on a $p\left(7\leq X\leq 15\right )\approx p\left ( -\dfrac{ 4}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{ 4}{\sigma}\right )$
Or $p\left ( -\dfrac{ 4}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{ 4}{\sigma}\right )=2\Pi\left( \dfrac{ 4}{\sigma} \right )-1 $
comme $t =\dfrac{4}{\sigma}\approx 1,24$
$$p\left(7\leq X\leq 15\right )\approx 2\Pi\left( 1,24 \right )-1 \approx 2\times 0,982-1$$
$p\left(7\leq X\leq 15\right )\approx 0,784$.


Remarque : on peut bien sûr faire le calcul avec une calculatrice


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 


Enfin le calcul direct à la calculatrice !


 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$



 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

 

1. 
   
   $binomFR\text{é}p(220,0.05,15)-binomFR\text{é}p(220,0.05,6)\approx 0.839$
   Ceci calcule la probabilité $P(X\leq 15)-P(X\leq 6)=P(7\leq X \leq 15)$ dans le cas où $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(220,0.05)$
   Ceci retourne 0,839.
   On peut remarquer le manque de qualité de l'approximation !
   On peut améliorer cette approximation en prenant en compte la correction de continuité ...
   Cette notion est hors programme mais il s'agit ici de prendre conscience du problème.
   A cet effet on remplace le calcul de $p(X=x)$ par $p\left (x-\frac{1}{2}\leq X\leq x+\frac{1}{2}\right )$
   Par exemple $p(X=8)$ par $p\left (7,5\leq X\leq 8,5\right )$
   Ici $p(7\leq X\leq 15)$ peut être remplacé par $p\left (6,5\leq X\leq 15,5\right )$ $$p\left (-\dfrac{4,5}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{4,5}{\sigma} \right )=2\Pi\left( \dfrac{ 4,5}{\sigma} \right )-1 $$ On obtient alors 0,836 à la calculatrice !