Baccalauréat S Métropole 12 septembre 2013

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère \(\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)\).
Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe \(\mathcal{C}\) et trois autres courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{3}\) avec la tangente en leur point d'abscisse \(0\).

France Metropole septembre 2013 Ex1

  1. Donner par lecture graphique, le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).
  2. On désigne par \(F\) une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    1. À l'aide de la courbe \(\mathcal{C}\), déterminer \(F'(0)\) et \(F'(- 2)\).
    2. L'une des courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{3}\) est la courbe représentative de la fonction \(F\).

    3. Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.


Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction \(f\) évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

  1. L'observation de la courbe \(\mathcal{C}\) permet de conjecturer que la fonction \(f\) admet un minimum.
    1. Démontrer que pour tout réel \(x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}\).
    2. En déduire une validation de la conjecture précédente.
  2. On pose \(I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x\).
    1. Interpréter géométriquement le réel \(I\).
    2. Soient \(u\) et \(v\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}\). Vérifier que \(f = 2\left(u'v + uv'\right)\).
    3. En déduire la valeur exacte de l'intégrale \(I\).
  3. On donne l'algorithme ci-dessous. \[\begin{array}{|ll|}\hline \text{ Variables: } & k \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels.}\\ & s \text{ est un nombre réel.}\\ \text{ Entrée :} & \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } n.\\ \text{Initialisation :} & \text{ Affecter à } s \text{ la valeur 0. }\\ \text{ Traitement :} & \text{ Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & | \text{ Affecter à } s \text{ la valeur } s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right). \\ &\text{ Fin de boucle.}\\ \text{ Sortie :} & \text{ Afficher} s.\\ \hline \end{array}\]On note \(s_{n}\) le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de \(n\).
    1. Justifier que \(s_{3}\) représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
      France Metropole septembre 2013 Ex1-fig2
    2. Que dire de la valeur de \(s_{n}\) fournie par l'algorithme proposé lorsque \(n\) devient grand ?

 

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