Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \[z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\] On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$.
2. 1. Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   2. En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
   3. Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
3. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables}& n \text{ entier naturel }\\ &R \text{ réel }\\ &P \text{ réel strictement positif}\\ \hline \text{Entrée}& \text{Demander la valeur de } P\\ \hline \text{ Traitement }&R \text{ prend la valeur 1}\\ &n \text{ prend la valeur 0}\\ &\text{Tant que } R > P\\ & n \text{ prend la valeur } n + 1\\ & R \text{ prend la valeur } \dfrac{\sqrt{3}}{2}R\\ &\text{Fin tant que}\\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher } n\\ \hline \end{array} $$
   1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
   2. Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
4. 1. Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
   2. On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{6}}$. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.
   3. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$. Les traits de construction seront apparents.