Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 - Exercice 3
Exercice 3 7 points
Partie A
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.
Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
- Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
- Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A.
- On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
- Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
- Prouver que $a = 2$.
- Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
Partie B
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.
- Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\mathbb{R}$.
- En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.
La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
- D est le point de coordonnées $(-2 ; 0)$,
- E est le point de coordonnées (2 ; 0),
- F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
- G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.
- Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).
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