Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 - Exercice 3

Page 5 sur 11: Exercice 3

Exercice 3 7 points


Commun à tous les candidats

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

  1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
    Annee 2014 Pondichery Ex4 a
    Annee 2014 Pondichery Ex4 b
  2. Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A.
  3. On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    1. Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
    2. Prouver que $a = 2$.
  4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.

      1. Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\mathbb{R}$.
      2. En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.

La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.
Annee 2014 Pondichery Ex4 c
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

      • D est le point de coordonnées $(-2 ; 0)$,
      • E est le point de coordonnées (2 ; 0),
      • F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
      • G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.

  1. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).

 

Correction Exercice 3
Page
  • Vues: 22751