Baccalauréat S Asie 21 juin 2018 - Exercice 3
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Exercice 3 5 points
On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'axes (O$x$), (O$y$) et (O$z$). Dans ce repère, on donne les points A$(- 3~;~0~;~0)$, B$(3~;~0~;~0)$ , C$\left(0~;~3\sqrt{3}~;~0\right)$ et D$\left(0~;~\sqrt{3}~;~2\sqrt{6}\right)$. On note H le milieu du segment [CD] et I le milieu du segment [BC].
On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide ABCD ont la même longueur, c'est-à-dire que le tétraèdre ABCD est un tétraèdre régulier. On appelle $\mathcal{P}$ le plan de vecteur normal $\vec{\text{OH}}$ et passant par le point I.
- Étude de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathcal{P}$
- Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9 = 0$.
- Démontrer que le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan $\mathcal{P}$.
- Donner une représentation paramétrique de la droite (AD), puis démontrer que le plans $\mathcal{P}$ et la droite (AD) sont sécants en un point K dont on déterminera les coordonnées.
- Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
- Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathcal{P}$.
- Peut-on placer un point M sur l'arête [BD] tel que le triangle OIM soit rectangle en M ?
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