Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014

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Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

  1. Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.
  2. Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
    1. Déterminer $P(X \geqslant 3)$.
    2. Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$.
    3. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
    4. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
  3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$.
    L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %.
    Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
    Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
    On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.

 

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