Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Vrai-Faux

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 3\ln x$. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est 3.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé $f'(1)$.
La dérivée de $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f'(x)=\dfrac{3}{x}$. D'où $f'(1)=3$.
La proposition 1 est vraie.
2. On considère le nombre complexe $z = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} - \dfrac{5}{2}\text{i}$. L'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est $\overline{z} = 5\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
Le conjugué de $z$ est $\overline{z} =\dfrac{5\sqrt{3}}{2} + \dfrac{5}{2}\text{i}$
$$\begin{array}{cc} \text{ Module }& \text{ Argument} \\ \begin{array}{rl|rl} |\overline{z} |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ \left (\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right )^2+ \left ( \dfrac{5}{2} \right )^2}\\ &=\sqrt{25\times \frac{3}{4} +\frac{25}{4}}\\ &=5 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{\sqrt 3}{2} \\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{1}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{\pi}{6} \text{ convient } \end{array}$$ $$\overline{z}= \dfrac{5\sqrt{3}}{2} + \dfrac{5}{2}\text{i}= 5\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} \right) +i\sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right) =5\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6} }$$ La proposition 2 est fausse.
3. La valeur moyenne de la fonction $x \longmapsto \sin \left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est égale à $0$.
Tout d'abord, on remarque que $ \sin \left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos x$ La valeur moyenne de la fonction $x \longmapsto \sin \left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est : $$\begin{array}{rl} V_{\text{Moy}}&=\frac{1}{\pi -0} \displaystyle\int_0^{\pi} -\cos x \text{d} x\\ &=\left [ -\sin x \right ] _0^{\pi}\\ &= -\sin \pi-(-\sin 0)\\ &=0 \end{array}$$ La proposition 3 est vraie.
4. La fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 3 \cos 5x$ est solution de l'équation différentielle $y'' + 25y = 0$.
Les solutions de l'équation différentielle $y"+25⁢y=0$ ( du type $y"+\omega ^2y=0$ où $\omega=5$) sont les fonctions définies sur $\mathbb R$ par $x\longmapsto A \cos⁡ (5⁢x)+B\sin⁡ (5⁢x)$ où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles quelconques.
En choisissant $A=3$ et $B=0$, la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f⁡(x)=3⁢\cos⁡ (5⁢x)$ est une solution de l'équation différentielle $y″+25⁢y=0.$
La proposition 4 est vraie.