Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Correction de l'Exercice 1
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Exercice 1 5 points
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C$(2 ; -1 ; - 2)$ et D $(7 ; - 1 ; 4)$.
- Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. $\vec{AB}(1;-1;-1)$ $\quad \vec{AC}(2;-5;-3)$
- Or $\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{-5}{-1}$. Par conséquent les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
- Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; - 1 ; 3)$.
- Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). $\vec{u}.\vec{AB} = 2 \times 1 – 1 \times (-1) – 1 \times 3 = 2 + 1 – 3 =0$
- $\vec{u}.\vec{AC} = 2 \times 2 – 1 \times (-5) + 3 \times (-3) = 4 + 5 – 9 = 0$.
- Le vecteur $\vec{u}$ est donc ortogonal à $2$ vecteurs de base du plan $(ABC)$.
- La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonal au plan $(ABC)$.
- $\quad$
- En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). On en déduit donc qu’une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme :
- $2x-y+3z+d=0$. On sait de plus que $A$ appartient à ce plan donc :
- $-4+3+d=0$. Par conséquent $d=1$.
- Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $2x-y+3z+1=0$.
- $\quad$
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. On en déduit donc qu’une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme :
- $2x-y+3z+d=0$. On sait de plus que $A$ appartient à ce plan donc :
- $-4+3+d=0$. Par conséquent $d=1$.
- Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $2x-y+3z+1=0$.
- $\quad$
c.- $\Delta$ passe par $D$ et a le vecteur $\vec{u}$ comme vecteur directeur.
- Par conséquent une représentation paramétrique est :
- $$\left\{ \begin{array}{l} x=7+2t \\ y=-1-t \qquad t\in \mathbb{R} \\ z=4+3t \end{array} \right.$$
- $\quad$
- Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC). On remplace les coordonnées de $\Delta$ dans l’équation de $(ABC)$ :
- $2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0$
- $\Leftrightarrow 14 + 4t + 1 + t + 12 + 9t + 1 = 0$
- $\Leftrightarrow 28 + 14t = 0$
- $\Leftrightarrow t = -2$
- Donc $H \left( 7+2\times -(2);-1 + 2; 4 + 3 \times (-2) \right)$ c’est-à-dire $H(3;1;-2)$
- Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
- Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. Un vecteur normal de $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}(1;1;1)$.
- Un vecteur normal de $\mathcal{P}_2$ est $\vec{n_2}(1;4;0)$.
- Ces $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc les plans ne sont pas colinéaires et sont par conséquent sécants.
- $\quad$
- Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-4t-2\\ y &=&t\\ z &=& 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. On peut montrer, par exemple, que l’équation fournie vérifie les $2$ équations de plan.
- On peut également chercher cette équation en résolvant le système :
- $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0 \\ x+4y+2=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-4y-2+y+z=0 \\ x=-4y-2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z=2+3y \\\\ x=-4y-2 \end{array} \right.$
- Une équation paramétrique de $d$ est donc bien :
- $$ \left\{ \begin{array}{l}x=-4t-2 \\ y = t \qquad \qquad t \in \mathbb{R} \\ z=3t+2 \end{array} \right.$$
- $\quad$
- La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? Un vecteur directeur de cette droite est donc $\vec{v}(-4;1;3)$.
- $\vec{u}.\vec{v} = -4 \times 2 + 1 \times (-1) + 3 \times 3 = -8 – 1 + 9 = 0$.
- Par conséquent la droite $d$ est parallèle au plan $(ABC)$.
- De plus le point $E(-2;0;2)$ ne vérifie pas l’équation de $(ABC)$.
- La droite $d$ est strictement parallèle au plan $(ABC)$.
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