Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x+1+\dfrac{4}{x^2}\]. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.
- Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme de fraction rationnelle.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x>0$, $f(x)=x+1+4\times \dfrac{1}{x^2}$, donc $f'(x)=1+0+4\times \left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=1-\dfrac{8}{x^3}=\dfrac{x^3-8}{x^3}$
- Vérifier que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$ donc $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
- En déduire la factorisation de $f'(x)$.
$f'(x)=\dfrac{x^3-8}{x^3}=\dfrac{x^3-2^3}{x^3}=\dfrac{(x-2)(x^2+x+2)}{x^3}$.
- En déduire les variations de $f$.
Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de sa dérivée sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
- $x>0$ donc $x^3>0$
- $x^2+x+2$ a une discriminant égal à -7, négatif, donc $x^2+x+2>0$ pour $x>0$
- $x-2>0$ pour $x>2$ et $x-2<0$ pour $x<2$
On en déduit que $f'(x)\leqslant 0$ pour $0<x\leqslant 2$ et $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant 2$.
Tableau de variation :

- On note $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x+1$. En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, trouver la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$.
Pour tout $x>0$, $f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x^2}$ donc $f(x)-(x+1)>0$ et $f(x)>x+1$.
$\mathscr{C}$ est donc au-dessus de $\mathscr{D}$.
- Construire la droite $\mathscr{D}$ et la courbe représentative de $f$.
