Baccalauréat S Métropole - La Réunion 12 septembre 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points I et J.
2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}1\\- 2\\\phantom{-}2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGI).
   2. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
   3. On note K le milieu du segment [Hl]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ?
3. Le but de cette question est de calculer l'aire du triangle BGI.
   1. En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à $\dfrac{1}{6}$.
      On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule 
      $V = \dfrac{1}{3} B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.
   2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par F et orthogonale au plan (BGI).
   3. La droite $\Delta$ coupe le plan (BGI) en F$'$. Montrer que le point F$'$ a pour coordonnées $\left(\frac{7}{9}~;~\frac{4}{9}~;~\frac{5}{9}\right)$.
   4. Calculer la longueur FF$'$. En déduire l'aire du triangle BGI.