Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 - Correction Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : pour tout entier naturel $n$,  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

1. Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.
$\begin{align*} u_0 &=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\mathrm{d}x\\ &= \left[\ln(1+x)\right]_0^1\\ &=\ln 2 – \ln 1\\ &=\ln 2 \end{align*}$

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
   $\begin{align*} u_{n+1}+u_n &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \mathrm{d}x + \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x\\ &= \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 \dfrac{x^n(1+x)}{1+x}\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 x^n \mathrm{d}x\\ &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1\\ &=\dfrac{1}{n+1}
   \end{align*}$
   
   2. En déduire la valeur exacte de $u_1$.
   On a ainsi $u_1+u_0 = 1 \iff u_1 = 1 – \ln 2$
3. 1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur. $$ \begin {array}{|cc|}\hline \text{Variables :}& i \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Entrée :}& \text{Saisir } n \\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ \text{Traitement :}& \text{ Pour } i \text{ variant de 1 à } \ldots\\ &\hspace{0.4cm} | \text{ Affecter à } u \text{ la valeur }\ldots\\ & \text{Fin de Pour }\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } u \\ \hline \end {array} $$
   $\quad$
   Variables :
   $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
   $\quad$ $u$ est un réel
   Entrée :
   $\quad$ Saisir $n$
   Initialisation :
   $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\ln 2$
   Traitement :
   $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$
   $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{i} – u$
   $\quad$ Fin de Pour
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $u$
   $\quad$
   
   2. À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant : $$\begin {array}{ |c|c| c|c|c|c| c|c|c|}\hline n & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &10 &50 &100\\ \hline u_n & 0,6931 & 0,3069 & 0,1931 & 0,1402 & 0,1098 & 0,0902 & 0,0475 & 0,0099 & 0,0050 \\ \hline \end {array}$$ Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
   La suite $(u_n)$ semble être décroissante et converger vers $0$.
4. 1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x – \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x\\ &= \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+x} \mathrm{d}x \end{align*}$
   Or sur $[0;1]$, $x^n \ge 0$, $1+x > 0$ et $x-1 \le 0$
   Donc $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\mathrm{d}x \le 0$ (puisque la fonction qu’on intègre est continue sur $[0;1]$).
   Ainsi la suite $(u_n)$ est décroissante.
   
   2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   La fonction définie sur $[0;1]$ par $x \mapsto \dfrac{x^n}{1+x}$ est continue et positive pour tout $n$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 0$.
   La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle converge donc.
5. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
On a, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}+u_n = \dfrac{1}{n+1}\; (1)$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l$
Donc, en prenant les limites dans l'égalité $(1) : \;$ $\ell + \ell = 0$ soit $\ell = 0$