Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Entrées :}& A \text{ et }B \text{ entiers naturels tels que } A < B\\ &\\ \text{ Variables :}& D \text{ est un entier}\\ &\text{ Les variables d'entrées } A \text{ et } B \\ &\\ \text{ Traitement :}&\\ &\text{ Affecter à } D \text{ la valeur de } B - A\\ &\\ &\text{ Tant que } D > 0\\ &B \text{ prend la valeur de } A\\ &A \text{ prend la valeur de } D\\ & \text{ Si }B > A \text{ Alors }\\ & D \text{ prend la valeur de } B - A\\ & \text{ Sinon }\\ & D \text{ prend la valeur de } A - B\\ &\text{ Fin Si }\\ &\text{ Fin Tant que }\\ &\\ \text{ Sortie :} &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$

1. On entre $A = 12$ et $B = 14$. En remplissant le tableau donné en annexe , déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1.
   1. Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation \[(\text{E})\qquad 221x - 331y = 1.\]
   2. Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
3. On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = 2 + 221n \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} v_0& =& 3\\ v_{n+1}&=& v_n + 331 \end{array}\right.\]
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
   2. Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que $u_p = v_q,\quad 0 \leqslant p \leqslant 500\quad$ et $\quad0 \leqslant q \leqslant 500$.