Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a^2$ et $b^2$.

On a $a-1 = 2b_0+200 = 400$ et $b_1 = a_0 + 100 = 300$
$~$
$a_2=2b_1+200 = 800$ et $b_2 = a_1 + 100 = 400$
On a donc $a_{n+1} = 2b_n+200$ et $b_{n+1}=a_n+100$
2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
   1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$.
   
   $$\begin{array} AX_n+B &= \begin{pmatrix}2b_n \\\\a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}200\\\\100 \end{pmatrix} \\\\
   &= \begin{pmatrix} 2b_n+200 \\\\a_n + 100 \end{pmatrix} \\\\
   &=X_{n+1}
   \end{array}$$
   
   2. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$.
   On cherche les valeurs de $(x;y)$ telles que :
   $$\begin{array}{cccc} \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=x+100 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=2y+200+100 \end{cases} \\\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x=2y+200 \\\\ y=-300\end{cases} \\\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x=-400 \\\\ y=-300\end{cases} \end{array}$$
   
   3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ b_{n} + 300\end{pmatrix}$. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}$.
   
   $$\begin{array} Y_{n+1} &= \begin{pmatrix} a_{n+1}+400 \\\\b_{n+1}+300 \end{pmatrix} \\\\
   &= \begin{pmatrix} 2b_n+200 + 400 \\\\a_n+100 + 300 \end{pmatrix} \\\\
   &=\begin{pmatrix} 2(b_n + 300) \\\\a_n + 400 \end{pmatrix} \\\\
   &=AY_n
   \end{array}$$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$.
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$.
   
   $Z_{n+1} = Y_{2(n+1)} = Y_{2n+2} = AY_{2n+1} = A^2Y_{2n} = A^2Z_n$
   $~$
   On a $A^2 = 2I$ où $I$ est la matrice identité.
   Par conséquent $Z_{n+1}=2Z_n$.
   
   2. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, \[Y_{2n} = 2Z_{n}.\] En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\]
   $Y_{2n+1} = AY_{2n}=2^nAY_0= 2^nY_1$
   Or $Y_0 = \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}$ donc $Y_{2n} = \begin{pmatrix} a_{2n} + 400\\\\b_{2n}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}$
   Par conséquent $a_{2n} = 600 \times 2^n – 400$
   $~$
   $Y_1 = \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}$ donc $Y_{2n+1} = \begin{pmatrix} a_{2n+1} + 400\\\\b_{2n+1}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}$
   Par conséquent $a_{2n} = 800 \times 2^n – 400$
4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
   1. On donne l'algorithme suivant. $$\begin{array} {|l |l|}\hline \text{ Variables : } & a, p \text{ et } n \text{sont des entiers naturels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } p.\\ \text{ Traitement : } &\text{ Si } p \text{ est pair }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p}{2}\\ \text{ Affecter à a la valeur } 600 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p - 1}{2}\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } 800 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Si. }\\ \text{ Sortie : } & \text{ Afficher } a.\\ \hline \end{array}$$ Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
   
   Si $p$ est pair alors $p = 2k$ par conséquent, dans l’algorithme, $n=k$ et on calcule $a_{2k}=a_p$ d’après la question précédente.
   Si $p$ est impaire alors $p=2k+1$ par conséquent, dans l’algorithme, $n= \dfrac{p-1}{2} = k$ et on calcule $a_{2k+1} = a_p$d’après la question précédente.
   Dans tous les cas on calcule la population du bassin A au bout de $p$ années.
   2. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.
   $$\begin{array} {|l |l|}\hline \text{ Variables : } & a, p \text{ et } n \text{sont des entiers naturels.}\\ \text{Initialisation :}& p \text{ prend la valeur } 0.\\ & a \text{ prend la valeur } 200.\\ \text{ Traitement : } & \\ & \text{ Tant que : } a\leq 10 000 \\ & p \text{ prend la valeur } p+1 \\ \text{ Traitement : } &\text{ Si } p \text{ est pair }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p}{2}\\ \text{ Affecter à a la valeur } 600 \times 2^n - 400.\\ \end{array} \\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p - 1}{2}\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } 800 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Si. }\\ & \text{ Fin de Tant que. } \\ \text{ Sortie : } & \text{ Afficher } p.\\ \hline \end{array}$$