Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un volume constant de 2200 m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient 1400 m$^3$ d'eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

  Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
• $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

 
On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = 1400$.

1. Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?

«&nbs;Un volume constant de 2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.»  donc $$\text{Pour tout }n \text{ de } \mathbb{N},\ a_n+b_n = 2200 .$$
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$.

Au début du $n+1$-ième jour, la bassin A contient $a_n$, on ajoute 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B soit $0,15 b_n$ et on enlève 10 % du volume présent dans A au début de la journée :
$a_{n+1}= a_n + 0,15 b_n -0,1 a_n = a_n + 0,15 (2200 - a_n)-0,1a_n =0,75a_n+330 =\dfrac{3}{4} a_{n} + 330$
On a bien, pour tout entier naturel $n,a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$.
3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à 1100. Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
   $$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Variables} &n   \text{est un entier naturel} \\ & a   \text{est un nombre réel}\\ \text{Initialisation} & \text{ Affecter à }  n   \text{ la valeur}  0\\ & \text{ Affecter à }  a    \text{  la valeur}  800\\ \text{Traitement} &\text{Tant que}  a <1100   \text{faire}         \\ &\quad\text{Affecter à  }a\text{ la valeur  }\ldots\\ &\quad\text{Affecter à } n \text{ la valeur} \ldots\\ &\text{Fin tant que }\\ \text{Sortie} &\text{Afficher } n \\ \hline \end{array}$$

4. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - 1320$.
   1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   
   Remarque : on peut calculer les premiers termes pour avoir la raison. Pour tout entier naturel $n$, on a $\begin{array}{lll} u_{n+1} &= a_{n+1} - 1320 & \text{définition de } u_n \\[5pt] &=\dfrac{3}{4} a_{n} + 330 - 1320 & \text{question 2. } \\[8pt] &= \dfrac{3}{4} a_{n} -990 & \\[8pt] & = \dfrac{3}{4}\left( a_{n} - 1320\right) & \\[8pt] & = \dfrac{3}{4} u_{n} & \text{définition de } u_n \\[8pt] \end{array}$
   On reconnait la définition d'une suite géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$. Son premier terme est $u_0 = a_0 -1320 = 800-1320 = -520$
   2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = 1320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
   
   On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = u_0 q^n = -520\times \left(\dfrac{3}{4} \right)^n$ . Mais, par définition de $u_n$, on a $u_{n} = a_{n} - 1320 \Leftrightarrow a_n = u_n + 1320$ donc $a_{n} = 1320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
5.  On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.

On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.
Si ce jour arrive, on aura $a_n = b_n = \dfrac{2200}{2}=1100$.
Il faut donc résoudre l'équation $1320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1100$ d'inconnue $n$. $1320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1100 \Leftrightarrow 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 220 \Leftrightarrow \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \dfrac{11}{26} \Leftrightarrow n \ln \left( \dfrac{3}{4} \right) = \ln \left( \dfrac{11}{26} \right)$ Finalement $n = \dfrac{\ln \left( \dfrac{11}{26} \right)}{\ln \left( \dfrac{3}{4} \right) } \approx 2,99$ .
On vérifie: $a_3 = 1100,625$ et $b_3 = 1099,375$ donc $a_3 - b_3 =1,25 > 1$.
A la fin du troisième jour, les deux bassins auront le même volume au mètre cube près. Les deux bassins n'auront donc jamais le même volume d'eau, à un mètre cube près.