Baccalauréat STI2D - STL Polynésie 16 juin 2014 spécialité SPCL - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Probabilités

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène.
Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l'aide d'un moule.
Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule.
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité d'une production de boîtes cubiques.

A. Loi normale
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [16,7;17,3].
La mesure de l'arête d'une boîte est modélisée par une variable aléatoire $C$ qui suit la loi normale d'espérance $17$ et d'écart type $0,14$.

1. Calculer $P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)$.
2. Déterminer la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.

B. Loi binomiale
L'entreprise conditionne ces boîtes par lots de $200$. On prélève au hasard une boîte dans la production.
On note $p$ la probabilité de l'évènement : «  la boîte prélevée au hasard dans la production est non conforme » .
On prélève au hasard $200$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $200$ boîtes., associe le nombre de boîtes non conformes qu'il contient.
On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $200$ et $p$, et, qu'en moyenne chaque lot de $200$ boîtes. en contient 6 non conformes.

1. Justifier que $p = 0,03$.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de $200$ boîtes..

C. Intervalle de fluctuation
On rappelle que, pour une proportion $p$ connue dans une production, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d'une fréquence calculée sur un échantillon de taille $n$ est :
$$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}};p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]$$
Dans le cadre d'un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion $p$ de boîtes non conformes dans la production est 3 %.

1. Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $200$.
2. On contrôle le bon fonctionnement du thermoformage en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $200$ boîtes.
   Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a compté $10$ boîtes non conformes.
   Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier la réponse.