Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013 - Exercice 3
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Exercice 3 7 points
Partie A
$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
- $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
- $T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1 ; -1)$. $T$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$.
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- Par lecture graphique, déterminer $f(1)$.
- Déterminer $f'(1)$.
- Donner une équation de $T$.
- On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
- Calculer $f'(x)$.
- Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.
Partie B
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5$.
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- Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
- On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
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- Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, vérifier que $f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$.
- Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
- En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$.
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- Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $[1 ; 3]$.
- On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x$ est une primitive de $f$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
Correction Exercice 3
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