Baccalauréat STI 2D Métropole septembre 2013 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124;127,5]$.

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1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.
   1. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
      • Méthode 1 : Par lecture de la table : $p(X > 125,5) = 0,500$.
      • Méthode 2 : Comme $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 on a sans calcul : $p(X > 125,5)=p(X > \mu)= 0,500$
      • Méthode 3 :

         

        2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

        $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   2. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
      • Méthode 1:

        2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

        $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

         

      • Méthode 2 : $X$ doit être comprise entre 124 et 127,5 ces deux nombres compris.
        $p(X < 124) = 0,0227501 $ et $p(X > 127,5) = 1 - 0,9961696 = 0,0038304 $.
        Or $p(X < 124) = 0,0227501 $ et $p(X > 127,5) = 1 - 0,9961696 = 0,0038304 $. Donc $p(124 \leqslant X \leqslant 127,5) = 1 - 0,0227501 - 0,0038304 = 0,97342 \approx 0,973$.
   3. En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.
   On a $p(X < 124) + p(X > 127,5) = 0,0038304 + 0,0038304 \approx 0,0266 $.

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   On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.

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   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & p(X \leqslant a) & & a & p(X\leqslant a) & & a & p(X \leqslant a) & & a & p(X \leqslant a)\\ \hline 122,00 & 0,0000015 & & 123,50 & 0,0038304& & 125,00 & 0,2524925& & 126,50 & 0,9087888\\ \hline 122,25& 0,0000073& & 123,75 & 0,0098153& & 125,25 & 0,3694413& & 126,75 & 0,9522096\\ \hline 122,50& 0,0000317& & 124,00 & 0,0227501& & 125,50 & 0,5000000& & 127,00 & 0,9772499\\ \hline 122,75& 0,0001229& & 124,25 & 0,0477904& & 125,75 & 0,6305587& & 127,25 & 0,9901847\\ \hline 123,00& 0,0004291& & 124,50 & 0,0912112& & 126,00 & 0,7475075& & 127,50 & 0,9961696\\ \hline 123,25& 0,0013499& & 124,75 & 0,1586553& & 126,25 & 0,8413447& & 127,75& 0,9986501\\ \hline \end{array}$$

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2. Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes. On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97$\,\%$. On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
   1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près).

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $$I_{300}=\left[0,95; 0,996\right]$$
   2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine?
   Sur 300 barres, 280 sont conformes, soit une fréquence de $\dfrac{280}{300} \approx 0,93$ : cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de confiance.
   La machine doit être réglée.